题目内容

求当x＞0时，f(x)=的值域.

答案：
解析：

 思路分析：此题从形式上看，不能使用基本不等式，但通过变形之后，f(x)=在分母上可以使用基本不等式.

解：∵x＞0，∴f(x)==.∵x+≥2,∴0＜≤.

∴0＜f(x)≤1.∴f(x)的值域为（0,1］，当且仅当x=1时取“=”号.

巧题变式

（1）本题中要没有x＞0的限制，仅有x∈R，那么应如下求解：

当x＞0时，同上;当x＜0时，x+≤-2,∴≤＜0,∴-1≤f(x)＜0;

当x=0时，f(x)=0,∴-1≤f(x)≤1.

（2）若本题加上x∈R的条件，且不用基本不等式，则可以用判别式求解.

∵y=,

∴yx2-2x+y=0.

当y=0时，得x=0，当y≠0时，

∵x∈R，∴Δ=4-4y2≥0,∴-1≤y≤1,但当x＞0时，如使用判别式法求解，那么就不仅仅是Δ≥0的问题了，而且还应该考虑x＞0的限制条件，是比较复杂的.


练习册系列答案
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（2006•黄浦区二模）已知函数y=f（x）的定义域为R+，对任意x，y∈R+，有恒等式f（xy）=f（x）+f（y）；且当x＞1时，f（x）＜0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：当x∈R+时，恒有f(
1x
)=-f(x)；
（3）求证：f（x）在（0，+∞）上为减函数；
（4）由上一小题知：f（x）是（0，+∞）上的减函数，因而f（x）的反函数f-1（x）存在，试根据已知恒等式猜想f-1（x）具有的性质，并给出证明．
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