Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，以椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切；若直线l：y=kx+m与椭圆C相交于A，B两点．直线OA和OB的斜率分别为k_OA和k_OB，且k_OA•k_OB=-．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求证：△OAB的面积为定值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由椭圆的离心率为，圆心到直线x-y+=0的距离等于b及c²=a²-b²联立方程组求解a²，b²，则椭圆的方程可求；
（2）把直线l的方程和椭圆方程联立，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点的横坐标的和与积，代入直线方程求出两交点的纵坐标的积，结合k_OA•k_OB=-得到k与m的关系，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出O到直线y=kx+m的距离，写出三角形AOB的面积后转化为含有k的代数式，整理后得到结果为定值．
解答：（1）解：由题意得，解得a²=4，b²=3．
所以椭圆的方程为；
（2）证明：设A（x₁，y₁），（x₂，y₂），则A，B的坐标满足，
整理得，（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．
∴，．
由△＞0，得4k²-m²+3＞0．
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=
==．
∵，∴，即，
∴，即2m²-4k²=3．
∵=
=．
O到直线y=kx+m的距离d=，
∴
==．为定值．
点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．