Question

如图，在△ABC中，D是AC的中点，E是BD的中点，AE的延长线交BC于F．
（Ⅰ）求

BF

FC

的值；
（Ⅱ）若△BEF的面积为S₁，四边形CDEF的面积为S₂，求S₁：S₂的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，则易根据E是BD的中点，可得，△BEF≌△DEG，由全等三角形的性质可将BF：FC转化为DG：FC，再由平行线分线段成比例定理即可得到答案．
（II）△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，由（I）的结论，我们可以求出两个三角形的底边长之比，及高之比，进而求出△BEF的面积S₁，四边形CDEF的面积S₂的比值．

解答：解：（Ⅰ）过D点作DG∥BC，并交AF于G点，∵E是BD的中点，∴BE=DE，
又∵∠EBF=∠EDG，∠BEF=∠DEG，∴△BEF≌△DEG，则BF=DG，∴BF：FC=DG：FC，
又∵D是AC的中点，则DG：FC=1：2，则BF：FC=1：2；即

BF

FC

=

1

2

（5分）
（Ⅱ）若△BEF以BF为底，△BDC以BC为底，则由（1）知BF：BC=1：3，
又由BE：BD=1：2可知h₁：h₂=1：2，其中h₁、h₂分别为△BEF和△BDC的高，
则

S△BEF

S△BDC

=

1

3

×

1

2

=

1

6

，则S₁：S₂=1：5．（10分）

点评：本题考查的知识点是平行线分线段成比例定理，在处理本题时，添加恰当的辅助线DG是解答本题的关键．