Question

13．若椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）上存在一点M，使得∠F₁MF₂=90°（F₁，F₂为椭圆的两个焦点），求椭圆的离心率e的取值范围．

Answer 1

分析 利用已知条件列出不等式，推出bc的关系，然后求出离心率的范围．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0）上存在一点M，使得∠F₁MF₂=90°（F₁，F₂为椭圆的两个焦点），
可得b≤c，
∴a²-c²≤c²，
∴a²≤2$\frac{1}{2}$c²，
∴e²≥$\frac{1}{2}$，
∴e∈[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）；
故答案为：[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1）．

点评 本题考查椭圆离心率的取值范围，考查椭圆的方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题