题目内容

已知函数f（x）= $数学公式$ ，（a＞0），
（Ⅰ）当f（x）∈[ $数学公式$ ， $数学公式$ ]时，求x的取值范围．
（Ⅱ）若f（0）=0，正项数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=f（a_n），
①证明{ $数学公式$ +1}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；
②若S_n是数列{a_n}的前n项和，证明：S_n＜2．

解：（1）∵f（x）∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
又a＞0，
所以 $\text{[math]}$
∴2≤x≤3a+5
（2）①∵f（0）=0，
∴a=1，f（x）= $\text{[math]}$ ，
由a_n+1=f（a_n），可得， $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$
∵a₁=1
∴ $\text{[math]}$
∴数列{ $\text{[math]}$ +1}是以2为首项，以2为公比的等比数列
∴ $\text{[math]}$ =2ⁿ
∴ $\text{[math]}$
②∴ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
分析：（1）由题意可得， $\text{[math]}$ ，解分式不等式可求x的范围
（2）①由f（0）=0，可求a，进而可求f（x），由a_n+1=f（a_n）可得， $\text{[math]}$ ，构造 $\text{[math]}$ ，可知数列{ $\text{[math]}$ +1}是等比数列，可求 $\text{[math]}$ ，进而可求a_n
②由 $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 可证明 $\text{[math]}$ ，可证
点评：本题主要考查了利用待定系数求解函数的解析式，等比数列的定义法的证明，及等比数列的通项公式的应用，等比数列的求和公式的应用等知识的综合．