Question

已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=

1

2

AB=1，M是PB的中点．
（1）求证：MC∥平面PAD；
（2）求证：BC⊥平面PAC；
（3）求三棱锥P-ACM的体积．

Answer 1

分析：（1）取PA中点Q，可证四边形QMCD为平行四边形，可得MC∥DQ，从而证明MC∥平面PAD．
（2）利用勾股定理证明BC⊥AC，由线面垂直的性质可得PA⊥BC，故BC⊥平面PAC．
（3）取AB中点N，可证CN⊥平面PAB，求S△PAM=

1

2

S△PAB的值，利用VP-ACM=VC-PAM=

1

3

×S△PAM×CN 求得结果．

解答：解：（1）取PA中点Q，连MQ、DQ，
则MQ∥DC，MQ=DC，∴四边形QMCD为平行四边形，∴MC∥DQ，
又DQ?平面PAD，MC?平面PAD，∴MC∥平面PAD．
（2）由已知可得AC=

2

，AB=2，BC=

2

，
∴AC²+BC²=AB²，∴BC⊥AC，
又∵PA⊥BC，PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．
（3）取AB中点N，连接CN，则CN∥AD，∴CN⊥平面PAB，
∵S△PAM=

1

2

S△PAB=

1

2

×

1

2

×1×2=

1

2

，
∴VP-ACM=VC-PAM=

1

3

×S△PAM×CN=

1

3

×

1

2

×1=

1

6

．

点评：本题考查证明线面平行、线面垂直的方法，求棱锥的体积，取PA中点Q，是解题的突破口．