题目内容
已知数列{an}满足：a1+a2+a3+…+an=n-an，（n=1，2，3，…）．（1）求证：数列{an-1}是等比数列；
（2）令bn=（2-n）（an-1）（n=1，2，3…），求数列{bn}的最大项的值；
（3）对第（2）问中的数列{bn}，如果对任意n∈N*，都有bn+
t≤t2，求实数t的取值范围．
【答案】分析：（1）利用数列递推式，再写一式，两式相减，即可证明数列{an-1}是等比数列；
（2）求得数列{bn}的通项，设数列{bn}的第r项最大，建立不等式，即可求得结论；
（3）利用（2）的结论，对任意n∈N*，都有bn+
t≤t2，转化为
≤t2-
t，即可求实数t的取值范围．
解答：（1）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+an=n-an，…①，
a1+a2+a3+…+an+1=n+1-an+1，…②，②-①可得2an+1-an=1…（3分）；
即：an+1-1=
（an-1），又a1-1=-
…..（5分），
所以数列{an-1是以-
为首项，以
为公比的等比数列…..…..（4分）
（2）解：由（1）可得an=1-
，故
，
设数列{bn}的第r项最大，则有
，∴
，∴3≤r≤4，
故数列{bn}的最大项是
..…..（8分）
（3）解：由（2）可知{bn}有最大值是
，所以，对任意n∈N*，都有bn≤
，
∵对任意n∈N*，都有bn+
t≤t2，即bn≤t2-
t成立，
∴
≤t2-
t，…（11分），
解得t≥
或t≤-
∴实数t的取值范围是（-∞，-
]∪[
，+∞）…（12分）
点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．
（2）求得数列{bn}的通项，设数列{bn}的第r项最大，建立不等式，即可求得结论；
（3）利用（2）的结论，对任意n∈N*，都有bn+
t≤t2，转化为
≤t2-
t，即可求实数t的取值范围．解答：（1）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+an=n-an，…①，
a1+a2+a3+…+an+1=n+1-an+1，…②，②-①可得2an+1-an=1…（3分）；
即：an+1-1=
（an-1），又a1-1=-
…..（5分），所以数列{an-1是以-
为首项，以
为公比的等比数列…..…..（4分）（2）解：由（1）可得an=1-
，故
，设数列{bn}的第r项最大，则有
，∴
，∴3≤r≤4，故数列{bn}的最大项是
..…..（8分）（3）解：由（2）可知{bn}有最大值是
，所以，对任意n∈N*，都有bn≤
，∵对任意n∈N*，都有bn+
t≤t2，即bn≤t2-
t成立，∴
≤t2-
t，…（11分），解得t≥
或t≤-
∴实数t的取值范围是（-∞，-
]∪[
，+∞）…（12分）点评：本题考查数列递推式，考查数列的通项，考查恒成立问题，考查学生分析转化问题的能力，属于中档题．
练习册系列答案
阅读快车系列答案
相关题目