Question

已知数列{a_n}及f_n(x)=a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ, f_n(-1)=(-1)ⁿn,n=1,2,3,…,
（1）求 a₁, a₂, a₃的值；
（2）求数列{a_n}的通项公式；
（3）求证： ．

Answer 1

（1）1,3,5；（2）；（3）见解析.
解：（I）由已知，所以.     
，所以.
，所以.      
（II）因为，
所以.
即.
所以对于任意的， .         
（III），
所以.     ①
. ②
①-②，得
           

所以.           
又=1，2，3…，故< 1.         

本试题主要是考查了数列中归纳猜想的原理，意义运用函数关系求解数列的通项公式，并且运用错位相减法求解数列的和的数学思想。