Question

在等比数列{a_n}中，

a

2 7

=a9且a₈＞a₉，则使得

n

i=1

(ai-

1

ai

)＞0的自然数n的最大值为（　　）

A．10

B．9

C．8

D．7

Answer 1

分析：由数列{a_n}为等比数列，利用等比数列的性质得到a₇•a₉=a₈²，与已知的等式联立，并利用等比数列的通项公式化简，可得出a₁与q的关系，然后利用等比数列的通项公式化简a₈＞a₉，可得出q的取值范围，把所求的式子

n

i=1

(ai-

1

ai

)变为

n

i=1

ai-

n

i=1

1

ai

，并利用等比数列的前n项和公式化简，将表示出的a₁代入，分解因式后，根据其值大于0，得到

1

q4

-

1

qi-5

＞0，由q的范围，得到关于i的不等式，求出不等式的最大正整数解可得出n的最大值．

解答：解：∵数列{a_n}为等比数列，
∴a₇•a₉=a₈²，又a₉=a₇²，
两式相除得：a₇³=a₈²，即（a₁q⁶）³=（a₁q⁷）²，
∴a₁=

1

q4

，
∵a₈＞a₉，即a₁q⁷＞a₁q⁸，
∴q³-q⁴＞0，即q³（1-q）＞0，
解得：0＜q＜1，
又

n

i=1

(ai-

1

ai

)=

n

i=1

ai-

n

i=1

1

ai

=

a1(1-qi)

1-q

-

1 a1 (1- 1 qi )

1- 1 q

=

1 q4 -qi-4+q5- 1 qi-5

1-q

=

(1-qi)( 1 q4 - 1 qi-5 )

1-q

＞0，
∴

1

q4

-

1

qi-5

＞0，
∴q⁴＜q^i-5，又0＜q＜1，
∴i-5＜4，即i＜9，
则n的最大值为8．
故选C

点评：此题考查了等比数列的性质，通项公式，以及求和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键．