Question

.如图所示，已知正四棱锥S—ABCD中，底面边长为a,侧棱长为a.
（1）求它的外接球的体积；
（2）求它的内切球的表面积.

Answer 1

（1）V_球=R³=a³（2）V_棱锥=S_底h=a²×a=

（1）设外接球的半径为R，球心为O，则OA=OC=OS，所以O为△SAC的外心，

即△SAC的外接圆半径就是球的半径.
∵AB=BC=a，∴AC=a.
∵SA=SC=AC=a，∴△SAC为正三角形.
由正弦定理得2R=，
因此，R=a，V_球=R³=a³.
（2）设内切球半径为r，作SE⊥底面ABCD于E，
作SF⊥BC于F，连接EF，
则有SF=
=.
S_△SBC=BC·SF=a×a=a².
S_棱锥全=4S_△SBC+S_底=（+1）a².
又SE===，
∴V_棱锥=S_底h=a²×a=.
∴r=,
S_球=4r²=a².