Question

已知函数f（x）=lg（

3

-（

3

-1）tanx-tan²x）．
（1）求函数f（x）的定义域．
（2）若β是两个模长为2的向量

a

，

b

的夹角，且不等式f（x）≤lg（1+sinβ）对于定义域内的任意实数x恒成立，求

a

 +

b

的取值范围．

Answer 1

分析：（1）令

3

-(

3

-1)tanx-tan2 x＞0，解三角不等式可求函数的定义域
（2）当x∈D时，tanx∈(-

3

，1)，而0＜

3

-(

3

-1)tanx-tan2x=(

3

+tanx)(1-tanx)，利用基本不等式可求f（x）有最大值lg(1+

3

2

)，则f（x）≤lg（1+sinβ）等价于lg(1+

3

2

)≤lg(1+sinβ)，结合0≤β≤π可求β的范围，又|

a

+

b

|=

( a + b )2

，结合余弦函数的性质可求

解答：解．（1）令

3

-(

3

-1)tanx-tan2 x＞0，得-

3

＜tanx＜1，…（2分）
由此可得所求函数的定义域为D={x|kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

4

，k∈Z}．…（4分）
（2）当x∈D时，tanx∈(-

3

，1)而0＜

3

-(

3

-1)tanx-tan2x=(

3

+tanx)(1-tanx)
≤(

( 3 +tanx)+(1-tanx)

2

)2=1+

3

2

 …（6分）
取等条件是

3

+tanx=1-tanx即tanx=

1- 3

2

，
故f（x）有最大值lg(1+

3

2

)，…（7分）
原不等式等价于lg(1+

3

2

)≤lg(1+sinβ)
∴sinβ≥

3

2

且0≤β≤π
∴

π

3

≤β≤

2π

3

∴

π

6

≤β≤

π

3

…（8分）
又|

a

+

b

|=

( a + b )2

=

8+8cosβ

=4|cos

β

2

|=4cos

β

2

             …（10分）
当

1

2

β=

π

6

时有最大值2

3

而当

1

2

β=

1

3

π时有最小值2，
故|

a

+

b

|的值域是[2，2

3

]．（12分）

点评：本题在主要考查了正切不等式的求解，函数的恒成立与函数的最值求解的相互转化，基本不等式在求解最值中的应用，向量的数量积的性质的应用，及余弦函数单调性的应用．