题目内容

已知 $数学公式$ ， $数学公式$
（Ⅰ）若存在实数k和t，使 $数学公式$ ， $数学公式$ ，且 $数学公式$ ⊥ $数学公式$ ，试求函数关系式k=f（t）；
（Ⅱ）根据（Ⅰ）的结论，确定k=f（t）的单调区间；
（Ⅲ）设a＞0，若过点（a，b）可作曲线k=f（t）的三条切线，求证： $数学公式$ ．

解：（Ⅰ）∵知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ =0，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ =2，| $\text{[math]}$ |= $\text{[math]}$ =1，
$\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ =（- $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ），
∴ $\text{[math]}$ =-4k+t（t²-3）=0，
∴k=f（t）= $\text{[math]}$ ．
（Ⅱ）∵f（t）= $\text{[math]}$ ，
∴f′（x）=k′= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
令k′＞0，得t＞1，或t＜-1，
令k′＜0，得-1＜t＜1，
∴k=f（t）的单调增区间为（1，+∞），（-∞，-1）；单调减区间为（-1，1）．
（Ⅲ）设切点为（t， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，
∴切线方程为：y- $\text{[math]}$ ，
∵切线方程过（a，b），
∴b- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
4b-t³+3t=（3t²-3）（a-t），
4b-t³+3t=3at²-3t²-3a+3t，
∴3a+4b=-2t³+3at²有三个不同的根，
令g（t）=-2t³+3at²，
g′（t）=-6t²+6at=-6t（t-a），
令g′（t）=0，得t=0，或t=a．
令g′（t）＞0，得0＜t＜a，
令g′（x）＜0，得t＞a，或t＜0，
∴g（t）_极小值=g（0）=0，
g（t）_极大值=g（a）=a³，
∴要使3a+4b=-2t³+3at²有三个不同的根，
则0＜3a+4b＜a³，
∴ $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）由 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，知 $\text{[math]}$ =0，| $\text{[math]}$ |=2，| $\text{[math]}$ |=1，由此能求出k=f（t）．
（Ⅱ）由f（t）= $\text{[math]}$ ，知f′（x）=k′= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能求出k=f（t）的单调区间．
（Ⅲ）设切点为（t， $\text{[math]}$ ）， $\text{[math]}$ ，则切线方程为：y- $\text{[math]}$ ，由切线方程过（a，b），知b- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由此能够证明
$\text{[math]}$ ．
点评：本题考查数量积判断两个平面向量垂直的条件的应用，具体涉及到平面向量的性质、导数的应用、函数性质、切线方程等基本知识点，解题时要认真审题，仔细解答．