Question

在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=1，CD=2．
（1）求证：BE∥平面PAD；
（2）求证：BC⊥平面PBD；
（3）若直线PB与底面ABCD所成角为45°，求线段PD的长（此问只需写出答案，无需写过程）．

Answer 1

解：（1）取PD的中点F，连结EF，AF，
∵E为PC中点，∴EF∥CD，且，
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，∴EF∥AB，EF=AB，
四边形ABEF为平行四边形，∴BE∥AF，
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．
（2）取CD中点M，连结BM，可知△BMC为直角三角形且BM=MC=1，∴，
在△ABD中，可知，∴CD²=BD²+BC²，∴BC⊥BD．
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
又PD∩BD=D，
∴BC⊥平面PBD．
（3）∵PD⊥底面ABCD，∴∠PBD是斜线PB与平面ABCD所成的线面角．
可知∠PBD=45°，由（2）可知：BD=．
∴PD=BD=．
分析：（1）利用三角形的中位线定理EF∥CD且，由平行四边形的判定可得平行四边形ABEF，由性质定理可得BE∥AF，再利用线面平行的判定定理即可证明；
（2）取CD中点M，连结BM，则四边形ABMD为正方形，可得BD，BC的长，利用勾股定理的逆定理即可判断BC⊥BD，再利用线面垂直的性质定理即可得出PD⊥BC，再利用线面垂直的判定定理即可证明；
（3）利用线面角的定义及等腰直角三角形的性质即可得出．
点评：熟练掌握三角形的中位线定理、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理、正方形的判定与性质、勾股定理的逆定理、线面垂直的判定定理和性质定理、线面角的定义及等腰直角三角形的性质是解题的关键．