题目内容

函数f（x）的定义域为（0，+∞），并满足以下条件：
①对任意的x＞0，y＞0，有f（xy）=f（x）+f（y）； ②x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是单调增函数；
（3）若x满足 $数学公式$ ，求函数 $数学公式$ 的最大、最小值．

解：（1）令x=y=1，则由①，有f（1）=f（1）+f（1），得f（1）=0；
（2）设x₁，x₂是定义域（0，+∞）上的任意两个实数，且x₁＞x₂＞0，
则 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ，
于是有 $\text{[math]}$ ，
即f（x₁）＞f（x₂）．
则由函数单调性的定义知，f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（3）由（2）及 $\text{[math]}$ 知， $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ 在 $\text{[math]}$ 上单调递减，在 $\text{[math]}$ 上单调递增，
$\text{[math]}$ ，
因此最大值为x=2时， $\text{[math]}$ ，
最小值为 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ ，
综上所述， $\text{[math]}$ 的最大值为 $\text{[math]}$ ，最小值为2 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）赋值法：令x=y=1，代入f（xy）=f（x）+f（y）即可求得；
（2）利用单调性定义：设x₁＞x₂＞0，则 $\text{[math]}$ ，由此可判断单调性；
（3）先根据单调性求出x的范围，然后判断 $\text{[math]}$ 的单调性，根据单调性即可求得其最值．
点评：本题考查抽象函数的单调性、最值问题，关于抽象函数的单调性一般采用定义判断．