Question

16．设函数$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+\sqrt{2}}}$，并且满足f（1+x）+f（-x）为定值，利用课本中推导等差数列前n项和的方法，求f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）的值为$\frac{5\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 求出f（1+x）+f（-x）的定值，利用倒序相加法，求解所求表达式的值．

解答 解：函数$f（x）=\frac{1}{{{2^x}+\sqrt{2}}}$，
∴f（1+x）+f（-x）=$\frac{1}{{2}^{1+x}+\sqrt{2}}+\frac{1}{{2}^{-x}+\sqrt{2}}$=$\frac{1}{{2•2}^{x}+\sqrt{2}}+\frac{{2}^{x}}{{（2}^{-x}+\sqrt{2}）{2}^{x}}$=$\frac{1}{{\sqrt{2}（\sqrt{2}•2}^{x}+1）}+\frac{{2}^{x}}{1+\sqrt{2}•{2}^{x}}$
=$\frac{1+\sqrt{2}•{2}^{x}}{\sqrt{2}{（\sqrt{2}•2}^{x}+1）}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
f（-4）+f（-3）+…+f（0）+…+f（4）+f（5）
=$\frac{1}{2}$[f（-4）+f（5）+f（-3）+f（4）+f（-2）+f（3）+f（-1）+f（2）+f（0）+f（1）+…+f（5）+f（-4）]
=$\frac{1}{2}×10×\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{2}$
故答案为：$\frac{{5\sqrt{2}}}{2}$．

点评 本题考查函数值的求法，利用题目提示的方法，求解是解题的关键．