Question

已知函数f（x）=|lgx|+a，若f（m）=f（n）且10＞m＞n则m+n的取值范围是________．

Answer 1

分析：由题意将f（m）、f（n）的表达式求出，代入f（m）=f（n）并化简，可得mn=1，所以m+n=m+=g（m），再利用导数研究g（m）在区间（1，10）上的单调性，即可得到m+n的取值范围．
解答：∵f（x）=|lgx|+a=，
∴函数f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数
∵n＜m＜10，f（m）=f（n），
∴0＜n＜1＜m＜10，可得lgm+a=-lgn+a，即lgm+lgn=0=lg1
∴mn=1，得m+n=m+=g（m），其中1＜m＜10
∵当m＞1时，g'（m）=1-＞0，
∴g（m）在区间（1，10）上是增函数，值域为（g（1），g（10））
∵g（1）=1+1=2，g（10）=10+=
∴g（m）∈，即m+n的取值范围是
故答案为：
点评：本题以含有绝对值的对数型函数为载体，考查了对数函数图象与性质的综合应用，以及用导数研究函数的单调性和值域等知识点，属于中档题．