Question

已知tan(α+

π

4

)=

1

3

，求证3sin2α=-4cos2α

Answer 1

分析：由tan(α+

π

4

)=

1

3

，可得2sinα+cosα=0，要证等式成立，只要证6sinαcosα=-4（cos²α-sin²α），只要证 
 （2sinα+cosα）（sinα-2cosα）=0，而由上可知，（2sinα+cosα）（sinα-2cosα）=0 成立，于是命题得证．

解答：证明：

∵tan(α+ π 4 )= 1 3

，∴

1+tanα

1-tanα

=

1

3

，tanα=-

1

2

，即 2sinα+cosα=0．
要证3sin2α=-4cos2α，只需证6sinαcosα=-4（cos²α-sin²α），
只需证2sin²α-3sinαcosα-2cos²α=0，只需证（2sinα+cosα）（sinα-2cosα）=0，
而2sinα+cosα=0，∴（2sinα+cosα）（sinα-2cosα）=0显然成立，于是命题得证．

点评：本题考查两角和差的正切公式，用分析法证明三角恒等式，关键是寻找使等式成立的充分条件．