Question

16．焦点在x轴上的椭圆C的一个顶点与抛物线E：x²=4$\sqrt{3}$y的焦点重合，且离心率e=$\frac{1}{2}$，直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆C交于M，N两点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若$\overrightarrow{OM}$•$\overrightarrow{ON}$=-2，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求得抛物线的焦点，由椭圆的离心率公式和a，b，c的关系，可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）讨论直线的斜率不存在和存在，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，计算可得斜率k，进而得到所求直线方程．

解答 解：（1）因为抛物线的焦点为$（0，\sqrt{3}）$，
所以$b=\sqrt{3}$，又$e=\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，所以a=2，
所以椭圆的标准方程为$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$；  
（2）当直线的斜率不存在时，直线方程为x=1，
解得$M（1，\frac{3}{2}）$，$N（1，-\frac{3}{2}）$，
此时$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}=1-\frac{9}{4}=-\frac{5}{4}≠-2$不合题意．
设直线的方程为y=k（x-1），
则M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）满足：$\left\{\begin{array}{l}y=k（x-1）…（1）\\ 3{x^2}+4{y^2}=12…（2）\end{array}\right.$，
（1）代入（2）得：（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
则${x_1}+{x_2}=\frac{{8{k^2}}}{{3+4{k^2}}}，{x_1}•{x_2}=\frac{{4{k^2}-12}}{{3+4{k^2}}}$，
${y_1}•{y_2}={k^2}（{x_1}-1）（{x_2}-1）={k^2}[{x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1）]=\frac{{-9{k^2}}}{{3+4{k^2}}}$，
所以$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}={x_1}{x_2}+{y_1}{y_2}=\frac{{4{k^2}-12-9{k^2}}}{{3+4{k^2}}}=-2$，
所以$k=±\sqrt{2}$，
所以直线的方程为$y=\sqrt{2}（x-1）$或$y=-\sqrt{2}（x-1）$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，主要考查椭圆的离心率和方程的运用，联立直线方程，运用韦达定理，同时考查向量的数量积的坐标表示，属于中档题．