Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=pⁿ+q（p≠0且p≠1），求证：数列{a_n}为等比数列的充要条件为q=-1．

Answer 1

证明：充分性：当q=-1时，a₁=S₁=p+q=p-1．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．
当n=1时也成立．
于是

an+1

an

=

pn(p-1)

pn-1(p-1)

=p（n∈N₊），
即数列{a_n}为等比数列．
必要性：当n=1时，a₁=S₁=p+q．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=p^n-1（p-1）．
∵p≠0，p≠1．
∴

an+1

an

=

pn(p-1)

pn-1(p-1)

=p．
∵{a_n}为等比数列，
∴

a2

a1

=

an+1

an

=p，

p(p-1)

p+q

=p，
即p-1=p+q．∴q=-1．
综上所述，q=-1是数列{a_n}为等比数列的充要条件．