题目内容
已知函数
．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间
上的最大值和最小值．
【答案】分析：（I）利用两角和的正弦公式将sin（2x+
）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x-2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2
sin（2x-
），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；
（II）根据x∈
，得-
≤2x-
≤
．再由正弦函数在区间[-
，
]上的图象与性质，可得f（x）在区间
上的最大值为与最小值．
解答：解：（I）∵sinxcosx=
sin2x，cos2x=
（1+cos2x）
∴f（x）=-
sin（2x+
）+6sinxcosx-2cos2x+1=-sin2x-cos2x+3sin2x-（1+cos2x）+1
=2sin2x-2cos2x=2
sin（2x-
）
因此，f（x）的最小正周期T=
=π；
（II）∵0≤x≤
，∴-
≤2x-
≤
∴当x=0时，sin（2x-
）取得最小值-
；当x=
时，sin（2x-
）取得最大值1
由此可得，f（x）在区间
上的最大值为f（
）=2
；最小值为f（0）=-2．
点评：本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题．
）展开，结合二倍角的正余弦公式化简合并，得f（x）=2sin2x-2cos2x，再利用辅助角公式化简得f（x）=2
sin（2x-
），最后利用正弦函数的周期公式即可算出f（x）的最小正周期；（II）根据x∈
，得-
≤2x-
≤
．再由正弦函数在区间[-
，
]上的图象与性质，可得f（x）在区间
上的最大值为与最小值．解答：解：（I）∵sinxcosx=
sin2x，cos2x=
（1+cos2x）∴f（x）=-
sin（2x+
）+6sinxcosx-2cos2x+1=-sin2x-cos2x+3sin2x-（1+cos2x）+1=2sin2x-2cos2x=2
sin（2x-
）因此，f（x）的最小正周期T=
=π；（II）∵0≤x≤
，∴-
≤2x-
≤
∴当x=0时，sin（2x-
）取得最小值-
；当x=
时，sin（2x-
）取得最大值1由此可得，f（x）在区间
上的最大值为f（
）=2
；最小值为f（0）=-2．点评：本小题主要考查两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式、三角函数的最小正周期和函数y=Asin（ωx+φ）的单调性等知识，考查基本运算能力，属于中档题．
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