题目内容

已知f（x）=（

）²（x≥0），又数列{a_n}（a_n＞0）中，a₁=2，这个数列的前n项和的公式S_n（n∈N^*）对所有大于1的自然数n都有S_n=f（S_n-1）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若b_n=

an+12+an2

2an+1an

（n∈N^*），求证

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

分析：（1）由于已知条件给出的是S_n与S_n-1的函数关系，而要求的是a_n的通项公式，故关键是确定S_n．知道S_n后，能够导出数列{a_n}的通项公式．
（2）由b_n=

an+12+an2

2an+1an

=1+

2n-1

2n+1

，知b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-

2n+1

．从而能够导出

lim

n→∞

（b₁+b₂+…+b_n-n）=1．

解答：解：（1）∵f（x）=（

）²，
∴S_n=（

Sn-1

）²．
∴

Sn-1

．又

，
故有

+（n-1）

，
即S_n=2n²（n∈N^*）．
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2；
当n=1时，a₁=2，适合a_n=4n-2．
因此，a_n=4n-2（n∈N^*）．
（2）∵b_n=

an+12+an2

2an+1an

=1+

2n-1

2n+1

，
∴b₁+b₂+b₃++b_n-n=1-

2n+1

．
从而

lim

n→∞

（b₁+b₂++b_n-n）=

lim

n→∞

（1-

2n+1

）=1．

点评：本题考查数列的极限及其应用，解题时要注意数列的性质的灵活运用．

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68所名校图书小升初高分夺冠真卷系列答案

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．
（1）当1≤x＜2时，求g（x）；
（2）当x∈R时，求g（x）的解析式，并画出其图象；
（3）求方程x^f[g（x）]=2g[f（x）]的解．

．
（1）化简f （x）的解析式；
（2）若0≤θ≤π，求θ使函数f （x）为偶函数；
（3）在（2）成立的条件下，求满足f （x）=1，x∈[-π，π]的x的集合．

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若 $数学公式$ ，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间 $数学公式$ 上的值域为 $数学公式$ ，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=x²-kx³．（k≥0）
（Ⅰ）求g（x）的解析式；
（Ⅱ）讨论函数f（x）在区间（-∞，0）上的单调性；
（Ⅲ）若

，设g（x）是函数f（x）在区间[0，+∞）上的导函数，问是否存在实数a，满足a＞1并且使g（x）在区间

上的值域为

，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

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