Question

已知函数f(x)＝ax²－(2a＋1)x＋2lnx(a∈R)．

(1)若曲线y＝f(x)在x＝1和x＝3处的切线互相平行，求a的值；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)设g(x)＝x²－2x，若对任意x₁∈(0,2]，均存在x₂∈(0,2]，使得f(x₁)<g(x₂)，求a的取值范围．

Answer 1

解析　f′(x)＝ax－(2a＋1)＋(x>0)．

(1)由f′(1)＝f′(3)，解得a＝.

(2)f′(x)＝(x>0)．

①当a≤0时，x>0，ax－1<0，

在区间(0,2)上f′(x)>0；在区间(2，＋∞)上f′(x)<0.

故f(x)的单调递增区间(0,2)，单调递减区间是(2，＋∞)．

②当0<a<时，>2，

在区间(0,2)和上f′(x)>0；在区间上f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间是(0,2)和(，＋∞)，

单调递减区间是.

③当a＝时，f′(x)＝，

故f(x)的单调递增区间是(0，＋∞)．

④当a>时，0<<2，

在区间和(2，＋∞)上f′(x)>0；在区间上f′(x)<0，故f(x)的单调递增区间是和(2，＋∞)，单调递减区间是.

(3)由已知，在(0,2]上有f(x)_max<g(x)_max.

由已知，g(x)_max＝0，由(2)可知，

①当a≤时，f(x)在(0,2]上单调递增，

故f(x)_max＝f(2)＝2a－2(2a＋1)＋2ln2＝－2a－2＋2ln2.

所以，－2a－2＋2ln2<0，解得a>ln2－1.

故ln2－1<a≤.

②当a>时，f(x)在上单调递增，在上单调递减，故f(x)_max＝f()＝－2－－2lna.

由a>可知lna>ln>ln＝－1,2lna>－2，－2lna<2.

所以，－2－2lna<0，f(x)_max<0.

综上所述，a>ln2－1.