Question

在平面直角坐标系中，已知向量，（m∈R），且满足，动点M（x，y）的轨迹为C．
（Ⅰ）求轨迹C的方程，并说明该方程所表示的轨迹的形状；
（Ⅱ）若已知圆O：x²+y²=1，当m=1时，过点M作圆O的切线，切点为A、B，求向量的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据题意，有M（x，y），欲求点M的轨迹C的方程，即寻找x，y之间的关系式，根据向量垂直利用向量间的关系求出M点的坐标的方程即可得；
（Ⅱ）欲向量的最大值和最小值，先求出向量用点M的坐标表示的函数式，后转化为求函数的最值即可求得．
解答：解：（Ⅰ）∵，
∴，
即mx²+2y²=8，（2分）
当m=0时，2y²=8，解得y=±2，表示两条与x轴平行的直线，
当m＜0时，，表示中心在坐标原点焦点在y轴上的双曲线，
当m=2时，x²+y²=4，表示以原点为圆心，半径为2的圆，
当m＞2时，，表示中心在坐标原点焦点在y轴上的椭圆，
当0＜m＜2时，表示中心在坐标原点焦点在x轴上的椭圆．（7分）（少一个扣一分）
（Ⅱ）当m=1时，曲线C的方程为：，
设∠AOB=2α，则，．．（8分）
∵MA与圆O相切于A，
∴在Rt△MAO中，，
即，．．（10分）
由，得x²=8-2y²，
∴，
∵0≤y²≤4，
∴当y²=0时，取得最小值为，
当y²=4时，取得最大值为．（12分）
点评：求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．