题目内容

已知点P为圆周x²+y²=4的动点，过P点作PH⊥x轴，垂足为H，设线段PH的中点为E，记点E的轨迹方程为C，点A（0，1）
（1）求动点E的轨迹方程C；
（2）若斜率为k的直线l经过点A（0，1）且与曲线C的另一个交点为B，求△OAB面积的最大值及此时直线l的方程；
（3）是否存在方向向量 $数学公式$ 的直线l，使得l与曲线C交与两个不同的点M，N，且有 $数学公式$ ？若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

解：（1）设E（x，y），则P（x，2y），而P点在圆上
所以x²+4y²=4，即 $\text{[math]}$
（2） $\text{[math]}$
而|x_B|≤2，故当x_B=±2时，△OAB面积的最大值为1
此时，直线l的方程为：x-2y+2=0或x+2y-2=0
（3）假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，
M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点Q（x₀，y₀）
于是 $\text{[math]}$ ?（1+4k²）x²+8kmx+4m²-4=0
△=64k²m²-4（1+4k²）（4m²-4）＞0
4k²-m²+1＞0…①
而 $\text{[math]}$
故 $\text{[math]}$
从而 $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
而 $\text{[math]}$
故k_AQ•k=-1
可得：3m=-4k²-1…②
由①②得：-3＜m＜0
故 $\text{[math]}$
分析：（1）欲求动点E的轨迹方程，设E（x，y），只须求出其坐标x，y的关系式即可，利用P（x，2y）点在圆上，即可得到答案；
（2）根据三角形的面积公式得 $\text{[math]}$ ，欲求面积的最大值，只须考虑|x_B|的最大值即可．由此求出直线l的方程；
（3）先假设存在符合题设条件的直线l，设其方程为：y=kx+m，将直线的方程代入椭圆的方程，消去y得到关于x的一元二次方程，再结合根系数的关系利用中点坐标公式，求出k的取值范围，若出现矛盾，则说明假设不成立，即不存在；否则存在．
点评：考查轨迹的求法和向量在几何中的应用，直线与圆锥曲线相交弦的中点问题，解题方法一般联立，消元，利用韦达定理，体现了方程的思想和转化的思想方法，属中档题．