题目内容

设{an}是等差数列，an＞0，公差d≠0，求证：
an+1
+
an+4
＜
an+2
+
an+3
．
证明：∵{an}是等差数列，∴an+k=an+kd．    （2分）
要证
an+1
+
an+4
＜
an+2
+
an+3
，
只要证
an+d
+
an+4d
＜
an+2d
+
an+3d
，
只要证an+d+2
(an+d)(an+4d)
+an+4d＜an+2d+2
(an+2d)(an+3d)
+an+3d，
∵an＞0，∴只要证（an+d）（an+4d）＜（an+2d）（an+3d）（2分）
只要证an2+5dan+4d2＜an2+5dan+6d2，只要证d2＞0．    （2分）
∵已知d≠0，∴d2＞0成立，故
an+1
+
an+4
＜
an+2
+
an+3
．    （2分）
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1
2
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21
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1
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