Question

设函数f（x）=|2x-a|+2a
（Ⅰ）若不等式f（x）≤6的解集为{x|-6≤x≤4}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（I）的条件下，若不等式f（x）≤（k²-1）-5的解集非空，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，解不等式|2x-a|+2a≤6，可得

3

2

a-3≤x≤3-

1

2

a，利用不等式f（x）≤6的解集为{x|-6≤x≤4}，可列方程组，解得实数a的值；
（Ⅱ）依题意，可得|2x+2|+1≤（k²-1）x，构造函数g（x）=|2x+2|+1=

2x+3，x≥-1 -2x-1，x＜-1

，通过作图分析可得不等式f（x）≤（k²-1）x-5的解集非空的条件是：k²-1＞2或k²-1≤-1，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）∵|2x-a|+2a≤6，
∴|2x-a|≤6-2a，
∴2a-6≤2x-a≤6-2a
∴

3

2

a-3≤x≤3-

1

2

a，
又不等式f（x）≤6的解集为{x|-6≤x≤4}，
∴

3 2 a-3=-6 3- 1 2 a=4

解得a=-2…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）=|2x+2|-4，由不等式f（x）≤（k²-1）x-5得
|2x+2|-4≤（k²-1）x-5，
化简得|2x+2|+1≤（k²-1）x；
令g（x）=|2x+2|+1=

2x+3，x≥-1 -2x-1，x＜-1

，y=g（x）的图象如图所示
要使不等式不等式f（x）≤（k²-1）x-5的解集非空，
只需k²-1＞2或k²-1≤-1，
∴实数k的取值范围是{k|k＜-

3

或k＞

3

或k=0}…10分

点评：本题考查绝对值不等式的解法，考查构造函数思想与数形结合思想的综合运用，考查推理分析与运算的能力，属于难题．