题目内容

已知函数 $数学公式$ ，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线垂直于直线y=x+2，求a的值；
（Ⅱ）求函数f（x）在区间（0，e]上的最小值．

解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1．
函数y=f（x）的导数为 $\text{[math]}$ ，
则f′（1）=- $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，所以a=1．（5分）
（Ⅱ）f′（x）=（ax-2）/x²，x∈（0，+∞）．
①当a=0时，在区间（0，e]上f′（x）=-2/x²，此时f（x）在区间（0，e]上单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为F（e）= $\text{[math]}$ ．
②当 $\text{[math]}$ ＜0，即a＜0时，在区间（0，e]上f′（x）＜0，此时f（x）在区间（0，e]上单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）= $\text{[math]}$ +a．
③当0＜ $\text{[math]}$ ＜e，即a＞ $\text{[math]}$ 时，
在区间 $\text{[math]}$ 上f′（x）＜0，此时f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递减；
在区间 $\text{[math]}$ 上f′（x）＞0，此时f（x）在区间 $\text{[math]}$ 上单调递增；
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（ $\text{[math]}$ ）=a+aln2．
④当 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ 时，
在区间（0，e]上f′（x）≤0，此时f（x）在区间（0，e]上为单调递减，
则f（x）在区间（0，e]上的最小值为f（e）= $\text{[math]}$ +a．
综上所述，当 $\text{[math]}$ 时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为 $\text{[math]}$ +a；
当a＞ $\text{[math]}$ 时，f（x）在区间（0，e]上的最小值为a+aln $\text{[math]}$ ．
分析：（Ⅰ）先求出直线的斜率，因为曲线的切线垂直与直线，所以曲线的切线在该点的斜率与直线的斜率乘积为-1，即曲线在该点的导数与直线的斜率乘积为-1．
（Ⅱ）求出函数f（x）的导数，再讨论a的范围，根据导数求出函数的最值
点评：该题考查求函数的导数，以及直线垂直的位置关系，要注意讨论a的取值范围，属于中等题，不算很难