Question

【题目】已知函数．

（1）当为何值时， 轴为曲线的切线；

（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．

Answer 1

【答案】（1）当时， 轴是曲线的切线（2）当或时， 有一个零点；当或时， 有两个零点；当时， 有三个零点．

【解析】【试题分析】（1）先对函数求导，再运用导数的几何意义建立方程组求出；（2）先确定函数的解析表达式的情形，再运用分类整合思想分或和分类讨论函数的零点的个数问题，进而求出对应的参数的取值范围：

（1）设曲线与轴相切于点，则，即，

解得： ，

因此，当时， 轴是曲线的切线；

（2）当时， ，从而，

∴在无零点，

当时，若，则， ，故是的零点； 若，则， ，故不是的零点，当时， ，所以只需考虑在的零点个数，

（Ⅰ）若或，则在无零点，故在单调，而，

所以当时， 在有一个零点； 当时， 在无零点；

（Ⅱ）若，则在单调递减，在单调递增，

故当时， 取的最小值，最小值为．

若，即， 在无零点；

若，即，则在有唯一零点；

③若，即，由于，所以当时， 在有两个零点；当时， 在有一个零点．

综上，当或时， 有一个零点；当或时， 有两个零点；

当时， 有三个零点．