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题目内容
设n为正整数，抛物线y＝n(n＋1)x
2
－(2n＋1)x＋1在x轴上截得的线段长为a
n
，则
________．
试题答案
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答案：1
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在平面直角坐标上有一点列P
1
（x
1
，y
1
），P
2
（x
2
，y
2
）…，P
n
（x
n
，y
n
）…，对一切正整数n，点P
n
在函数
y=3x+
13
4
的图象上，且P
n
的横坐标构成以-
5
2
为首项，-1为公差的等差数列{x
n
}．
（Ⅰ）求点P
n
的坐标；
（Ⅱ）设抛物线列C
1
，C
2
，C
3
，…C
n
，…中的每一条的对称轴都垂直于x轴，抛物线C
n
的顶点为P
n
，且过点D
n
（0，n
2
+1），记与抛物线C
n
相切于点D
n
的直线的斜率为K
n
，求
1
k
1
k
2
+
1
k
2
k
3
+…+
1
k
n
k
n+1
的值．
顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A
0
（1，1），过A
0
作抛物 线的切线交x轴于B
1
，过B
1
点作x轴的垂线交抛物线于A
1
，过A
1
作抛物线的切线交x轴于B
2
，…，过A
n
（x
n
，y
n
）作抛物线的切线交x轴于B
n+1
（x
n+1
，0）
（1）求{x
n
}，{y
n
}的通项公式；
（2）设a
n
=
1
1+
x
n
+
1
1-
x
n+1
，数列{a
n
}的前n项和为T
n
．求证：T
n
＞2n-
1
2
．
（3）设b
n
=1-log
2
y
n
，若对任意正整数n，不等式（1+
1
b
1
）（1+
1
b
2
）…（1+
1
b
n
）≥a
2n+3
成立，求正数a的取值范围．
（2013•闵行区二模）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y
2
=x于P
1
点，过P
1
点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q
1
点，交Γ于P
2
点；过P
2
点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q
2
点，交Γ于P
3
点；过P
3
点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q
3
点，交Γ于P
4
点；如此下去…．又设线段OQ
1
，Q
1
Q
2
，Q
2
Q
3
，…，Q
n-1
Q
n
，…的长分别为a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
，…，数列{a
n
}的前n项的和为S
n
．
（1）求a
1
，a
2
；
（2）求a
n
，S
n
；
（3）设
b
n
=
a
a
n
(a＞0且a≠1)
，数列{b
n
}的前n项和为T
n
，若正整数p，q，r，s成等差数列，且p＜q＜r＜s，试比较T
p
•T
s
与T
q
•T
r
的大小．
给定整数n≥2，设M
0
（x
0
，y
0
）是抛物线y
2
=nx-1与直线y=x的一个交点．试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使（
x
m
0
，y
m
0
）为抛物线y
2
=kx-1与直线y=x的一个交点．
关 闭
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________．
________．
顶点在坐标原点，开口向上的抛物线经过A0（1，1），过A0作抛物 线的切线交x轴于B1，过B1点作x轴的垂线交抛物线于A1，过A1作抛物线的切线交x轴于B2，…，过An（xn，yn）作抛物线的切线交x轴于Bn+1（xn+1，0）
（2013•闵行区二模）过坐标原点O作倾斜角为60°的直线交抛物线Γ：y2=x于P1点，过P1点作倾斜角为120°的直线交x轴于Q1点，交Γ于P2点；过P2点作倾斜角为60°的直线交x轴于Q2点，交Γ于P3点；过P3点作倾斜角为120°的直线，交x轴于Q3点，交Γ于P4点；如此下去…．又设线段OQ1，Q1Q2，Q2Q3，…，Qn-1Qn，…的长分别为a1，a2，a3，…，an，…，数列{an}的前n项的和为Sn．