Question

已知向量

a

=（cos

x

2

，sin

x

2

），

b

=（cos

x

2

，cos

x

2

），函数f（x）=

a

•

b

．
（1）求f（x）的单调递减区间，并在给出的方格纸上用五点作图法作出函数f（x）在一个周期内的图象；
（2）求证：函数f（x）的图象在区间[-

π

2

，

π

3

]上不存在与直线y=

3

2

x平行的切线．

Answer 1

分析：（1）先利用向量数量积运算的性质写出函数f（x）的解析式，再利用二倍角公式和两角和的正弦公式，将函数化为y=Asin（ωx+φ）型函数，最后利用整体代入法求出单调减区间，利用五点作图法画出要求图象即可
（2）先求函数f（x）的导函数f′（x），再证明导函数f′（x）在区间[-

π

2

，

π

3

]上的最大值小于直线y=

3

2

x的斜率，最后利用导数的几何意义说明结论

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=cos²

x

2

+sin

x

2

cos

x

2

=

1

2

cosx+

1

2

sinx+

1

2

=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

，
令2kπ+

π

2

≤x+

π

4

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，则2kπ+

π

4

≤x≤2kπ+

5π

4

，k∈Z，
∴f（x）的单调递减区间为[2 kπ+

π

4

，2kπ+

5π

4

]，k∈Z．
函数f（x）在区间[-

π

4

，

7

4

π]上的简图如下：

（2）证明：由（1）知，f（x）=

2

2

sin（x+

π

4

）+

1

2

，
∴f′（x）=

2

2

cos（x+

π

4

），
∵x∈[-

π

2

，

π

3

]，∴x+

π

4

∈[-

π

4

，

7π

12

]，
∴f′（x）=

2

2

cos（x+

π

4

）≤

2

2

＜

3

2

．
∴函数f（x）的图象在区间[-

π

2

，

π

3

]上不存在与直线y=

3

2

x平行的切线．

点评：本题综合考查了向量数量积运算、三角变换公式、y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质、导数的几何意义等基础知识，有一定难度