Question

10．已知函数f（x）=sinωx-sin（ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）．
（1）若f（x）在[0，π]上的值域为[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，求ω的取值范围；
（2）若f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上单调，且f（0）+f（$\frac{π}{3}$）=0，求ω的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域、值域、单调性、周期性求得ω的取值范围．
（2）利用正弦函数的单调性、周期性求得ω的取值范围，根据函数的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，0），故有$\frac{ωπ}{6}$-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，由此ω的值．

解答 解：（1）函数f（x）=sinωx-sin（ωx+$\frac{π}{3}$）=sinωx-sinωxcos$\frac{π}{3}$-cosωxsin$\frac{π}{3}$=$\frac{1}{2}$sinωx-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosωx=sin（ωx-$\frac{π}{3}$），
在[0，π]上，ωx-$\frac{π}{3}$∈[-$\frac{π}{3}$，ωπ-$\frac{π}{3}$]，sin（ωx-$\frac{π}{3}$）∈[-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1]，∴ωπ-$\frac{π}{3}$∈[$\frac{π}{2}$，$\frac{4π}{3}$]，ω∈[$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{3}$]．
（2）∵f（x）在[0，$\frac{π}{3}$]上单调，∴$\frac{π}{3}$-0≤$\frac{T}{2}$=$\frac{π}{ω}$，∴0＜ω≤3．
∵f（0）+f（$\frac{π}{3}$）=0，∴f（$\frac{π}{6}$）=0，故函数的一个对称中心为（$\frac{π}{6}$，0），故有$\frac{ωπ}{6}$-$\frac{π}{3}$=kπ，k∈Z，∴ω=2k+2，
∴ω=2．

点评 本题主要考查正弦函数的定义域、值域、单调性、周期性以及图象的对称性，属于中档题．