Question

（本小题满分14分）（注意：在试题卷上作答无效）
设数列的前项和为，对一切，点都在函数 的图象上．
(Ⅰ)求及数列的通项公式；
(Ⅱ) 将数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（），（，），（，，），（，，，）；（），（，），(，，），（，，，）；（），…，分别计算各个括号内各数之和，设由这些和按原来括号的前后顺序构成的数列为，求的值；
（Ⅲ）令（），求证：

Answer 1

(Ⅰ) ,,,
(Ⅱ) =2010
（Ⅲ）

解：（1）因为点在函数的图象上，
故，所以．令，得，所以；
令，得， ；令，得，．
由此猜想：．
用数学归纳法证明如下：
①当时，有上面的求解知，猜想成立．
②假设时猜想成立，即成立，
则当时，注意到，
故，．
两式相减，得，所以．
由归纳假设得，，故．
这说明时，猜想也成立．
由①②知，对一切，成立 ． …………………………………………4分
另解：因为点在函数的图象上，
故，所以   ①．令，得，所以；
时   ②
时①－②得
令，
即与比较可得
，解得．
因此
又，所以，从而． …………4分
（2）因为（），所以数列依次按1项、2项、3项、4项循环地分为（2），（4，6），（8，10，12），（14，16，18，20）；（22），（24，26），（28，30，32），（34，36，38，40）；（42），…. 每一次循环记为一组．由于每一个循环含有4个括号， 故 是第25组中第4个括号内各数之和．由分组规律知，由各组第4个括号中所有第1个数组成的数列是等差数列，且公差为20. 同理，由各组第4个括号中所有第2个数、所有第3个数、所有第4个数分别组成的数列也都是等差数列，且公差均为20. 故各组第4个括号中各数之和构成等差数列，且公差为80. 注意到第一组中第4个括号内各数之和是68，
所以 ．又=22，所以="2010." ………………9分
（3）有（1）中知，∴，
当时，；
当时，
显然
而（）

。…………………14分