题目内容

已知椭圆C： $数学公式$ + $数学公式$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $数学公式$ ，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为2 $数学公式$ ．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过点（2，0）的直线l的与椭圆C交于A、B两点，O为坐标原点，当∠AOB为锐角时，求直线l的斜率k的取值范围．

解：（1）由 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ 得a²=2c²=2b²，
依题意 $\text{[math]}$ ×2a×2b= $\text{[math]}$ ，即ab= $\text{[math]}$ ，解方程组 $\text{[math]}$ 得a= $\text{[math]}$ ，b=1，
所以椭圆C的方程为 $\text{[math]}$ ．
（2）设l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由 $\text{[math]}$ ，得（1+2k²）x²-8k²x+8k²-2=0，
由△=64k⁴-4（2k²+1）（8k²-2）＞0，得 $\text{[math]}$ ，且 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
于是 $\text{[math]}$ =k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]= $\text{[math]}$ ．
∵∠AOB为锐角，∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＞0，解得 $\text{[math]}$ ，
又 $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ，解得- $\text{[math]}$ ＜k＜- $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ＜k＜ $\text{[math]}$ ，
所以直线l的斜率k的取值范围是（- $\text{[math]}$ ，- $\text{[math]}$ ）∪（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）由离心率为 $\text{[math]}$ 及a²=b²+c²可得a，b关系，由菱形面积得 $\text{[math]}$ ×2a×2b= $\text{[math]}$ ，联立方程组即可求得a，b；
（2）设l：y=k（x-2），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由∠AOB为锐角，得 $\text{[math]}$ ，即x₁x₂+y₁y₂=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]＞0，联立直线方程与椭圆方程消去y得x的二次方程，则△＞0，由韦达定理可把上式变为k的不等式，联立可得关于k的不等式组，解出即可；
点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解，判别式、韦达定理、弦长公式是解决该类题目的基础，解决该类问题常运用方程思想．