题目内容
已知f(x)=ax3+bx2+cx+d(a＞0)为连续、可导函数,如果f(x)既有极大值M,又有极小值N,求证:M＞N.
证明:由题设有f′(x)=3ax2+2bx+c=3a(x-x1)(x-x2),不妨设x1＜x2,则由a＞0知:当x∈(-∞,x1)时,f′(x)＞0;当x∈(x1,x2)时,f′(x)＜0;当x∈(x2,+∞)时,f′(x)＞0.故f(x)在x1处取极大值,在x2处取极小值.
∵f(x1)-f(x2)=a(x13-x23)+b(x12-x22)+c(x1-x2)
=(x1-x2)［a(x1+x2)2-ax1x2+b(x1+x2)+c］
=(x1-x2)［a·(-
)2-a·
+b·
+c］
=(x1-x2)［
(b2-3ac)］,
由方程3ax2+2bx+c=0有两个相异根,有Δ=(2b)2-12ac=4(b2-3ac)＞0.
又x1-x2＜0,a＞0,
∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),得证.
练习册系列答案
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已知f(x)=ax3+ln(
+x)+2，且f（-5）=m，则f（5）+f（-5）的值为（ ）
| x2+1 |
| A、4 | B、0 | C、2m | D、-m+4 |
已知f(x)=ax3+
(ab≠0)，对任意a，b∈R（a≠b），都有
＞0．若x1+x2＜0，且x1?x2＜0，则f（x1）+f（x2）的值（ ）
| b |
| x |
| f(a)-f(b) |
| a-b |
| A、恒小于0 | B、恒大于0 |
| C、可能为0 | D、可正可负 |