Question

已知函数f（x）=x³-（k²-1）x²-k²+2（k∈R），若过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线与直线x-y+b=0垂直，求a的值．

Answer 1

【答案】分析：由f（x）=x³-（k²-1）x²-k²+2（k∈R），得f′（x）=3x²-2（k²-1）x，由此求出过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线的斜率k=3-2（k²-1），再由过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线与直线x-y+b=0垂直，解得k²=3．由此求出f（x），把P（1，a）代入，求得a．
解答：解：∵f（x）=x³-（k²-1）x²-k²+2（k∈R），
∴f′（x）=3x²-2（k²-1）x，
∴过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线的斜率k=f′（1）=3-2（k²-1），
∵过函数f（x）图象上一点P（1，a）的切线与直线x-y+b=0垂直，
∴3-2（k²-1）=-1，解得k²=3．
∴f（x）=x³-2x²-1，
把P（1，a）代入，得a=1-2-1=-2．
点评：本题考查导数的几何意义的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意直线互相垂直的条件的合理运用．