Question

已知函数f（x）=

x2+c

ax+b

为奇函数，满足f（1）＜f（3），且不等式0≤f（x）≤

3

2

 的解集是[-2，-1]∪[2，4]．
（1）求a，b，c的值；
（2）对一切θ∈R，不等式f（-2+sinθ）≤m-

3

2

都成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（x）为奇函数可得f（-x）=-f（x）可求b，由0≤f（x）≤

3

2

 的解集中包含2和-2，可得，f（2）≥0，
f（-2）=-f（2）≥0即得f（2）=0，可求c，由f（1）＜f（3），可得f（1）=-

3

a

，f（3）=-

5

3a

，即-

3

a

＜

5

3a

，从而可求a的范围，利用函数单调性的定义证明在a＞0时，在（0，+∞）上f（x）=

x2-4

ax

是增函数．由f（4）=

3

2

=

42-4

4a

可求a
（2）由f（x）=

x2+c

ax+b

为奇函数可得f（x）=

x2+c

ax+b

在（-∞，0）上也是增函数，结合-3≤-2+sinθ≤-1，可得f（-3）≤f（-2+sinθ）≤f（-1）=

3

2

，从而可得m的取值范围

解答：解：（1）∵f（x）=

x2+c

ax+b

为奇函数∴

(-x)2+c

a(-x)+b

=-

x2+c

ax+b

，解得b=0．…（2分）
∵式0≤f（x）≤

3

2

 的解集中包含2和-2，
∴

f(2)≥0 f(-2)=-f(2)≥0

即得f（2）=0=

22+c

2a

，所以c=-4 …（4分）
∵f（1）＜f（3），f（1）=-

3

a

，f（3）=-

5

3a

，
∴-

3

a

＜

5

3a

，所以a＞0…（5分）
下证：当a＞0时，在（0，+∞）上f（x）=

x2-4

ax

是增函数．
在（0，+∞）内任取x₁，x₂，且x₁＜x₂，
那么f（x₁）-f（x₂）=

x1

a

-

4

ax1

-

x2

a

+

4

ax2

=

1

a

（x₁-x₂）（1+

4

x1x2

）＜0
即f（x₁）＜f（x₂），
∴当a＞0时，在（0，+∞）上，f（x）=

x2-4

ax

是增函数．
所以，f（2）=0，f（4）=

3

2

=

42-4

4a

，解得a=2．
综上所述：a=2，b=0，c=-4，f（x）=

x2-4

2x

…（7分）
（2）∵f（x）=

x2+c

ax+b

为奇函数∴f（x）=

x2+c

ax+b

在（-∞，0）上也是增函数．…（8分）
又-3≤-2+sinθ≤-1，∴f（-3）≤f（-2+sinθ）≤f（-1）=

3

2

 …（10分）
而m-

3

2

≥

3

2

    …（12分）
所以，m≥3时，不等式f（-2+sinθ）≤m-

3

2

对一切θ∈R成立．…（13分）

点评：本题综合考查了函数性质的应用：奇函数的定义及奇函数对称区间上的 单调性，利用定义证明函数的单调性，函数的恒成立与最值的相互转化的思想的体现．