Question

已知函数f（x）=ln（a^x-1），（a＞0，a≠1）
（1）叙述对数换底公式并加以证明．
（2）求函数f（x）的定义域；
（3）讨论函数f（x）的单调性．用单调性定义证明a=2时f（x）单调递增．

Answer 1

分析：（1）利用对数和指数式的关系证明换底公式．（2）利用对数函数的图象和性质求函数的定义域．（3）利用复合函数的单调性之间的关系，证明函数的单调性．

解答：解：（1）对数的换底公式为：logbN=

logaN

logab

=（a，b，N都是正数，a≠1，b≠1）．
证明：令log_b^N=x，则b^x=N，两边同取以a为底的对数得：
logabx=logaN，
∴x•log_ab=log_aN，
即x=

logaN

logab

，
∴logbN=

logaN

logab

成立．
（2）要使函数有意义，则a^x-1＞0，即a^x＞1，
若a＞1，则x＞1，此时函数的定义域为（0，+∞），
若0＜a＜1，则x＜0，此时函数的定义域为（-∞，0）．
（3）令t=a^x-1，则y=lnt，
①当a＞1时，t=a^x-1，单调递增，y=lnt单调递增，∴f（x）在（0，+∞），
单调递增．
②当0＜a＜1时，t=a^x-1，单调递减，y=lnt单调递增，∴f（x）在（-∞，0）．
单调递减．
当a=2时，f（x）=ln（2^x-1），此时定义域为（1，+∞），
设x₁＞x₂＞1，则2x1-1＞2x2-1，而y=lnt单调递增，
∴f（x₁）-f(x2)=ln(2x1-1)-ln(2x2-1)＞0，
即f（x₁）＞f（x₂），
∴f（x）=ln（2^x-1），在（1，+∞）上单调递增．

点评：本题主要考查对数的基本运算，以及对数的换底公式的证明，利用单调性的定义是证明函数单调性的基本方法．