Question

设f（x）=ax²+bx+c（a，b，c∈R，a≠0），f（x）在区间[-2，2]上的最大值、最小值分别为M、m，集合A={x|f（x）≤x}，
（1）若A=[1，2]，且f（0）=2，求M和m的值；
（2）若M+m≠8a+2c，求证：|

b

a

|＜4；
（3）若A=2，a∈[2ⁿ，+∞）（n∈N₊），M-m的最小值记为g（n），估算使g（n）∈[10³，10⁴]的一切n的取值．（可以直接写出你的结果，不必详细说理）

Answer 1

（1）∵A=[1，2]，
∴ax²+（b-1）x+2≤0的解集为[1，2]，
∴方程ax²+（b-1）x+2=0的两个根x₁=1，x₂=2，
由韦达定理得到：a=1，b=-2，
又f（0）=2，所以c=2，
则f（x）=x²-2x+2=（x-1）²+1，
∴M=f（-2）=10，m=f（1）=1；
（2）若|

b

a

|≥4，则函数y=f（x）的对称轴x=-

b

2a

∉(-2，2)，
∴f（x）在[-2，2]上单调，
∴M+m=f（-2）+f（2）=8a+2c，与已知矛盾，
∴|

b

a

|＜4；
（3）∵A=2，∴ax²+（b-1）x+2=0有两个等根x₁=x₂=2，
∴c=4a，b=1-4a，f（x）=ax²+（1-4a）x+4a，其对称轴x=

4a-1

2a

=2-

1

2a

∈(0，2)，(a≥2n)，∴M=f(-2)=16a-2，m=

8a-1

4a

，M-m=16a+

1

4a

-4，g(n)=2n+4+

1

2n+2

-4
满足条件的n取值为6、7、8、9．