Question

已知函数f（x）=x³+（1-a） x²-a（a+2）x+b（a，b∈R）．
（I）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率是-3，求a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间（-1，1）上不单调，求a的取值范围．

Answer 1

解析：（Ⅰ）由题意得f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）
又

f(0)=b=0 f′(0)=-a(a+2)=-3

，
解得b=0，a=-3或a=1
（Ⅱ）函数f（x）在区间（-1，1）不单调，等价于
导函数f'（x）[是二次函数]，在（-1，1有实数根但无重根．
∵f'（x）=3x²+2（1-a）x-a（a+2）=（x-a）[3x+（a+2）]，
令f'（x）=0得两根分别为x=a与x=-

a+2

3

若a=-

a+2

3

即a=-

1

2

时，此时导数恒大于等于0，不符合题意，
当两者不相等时即a≠-

1

2

时
有a∈（-1，1）或者-

a+2

3

∈（-1，1）
解得a∈（-5，1）且a≠-

1

2

综上得参数a的取值范围是（-5，-

1

2

）∪（-

1

2

，1）