Question

（2012•浙江模拟）设公比为正数的等比数列{a_n}的前n项和为S_n，已知a₃=8，S₂=48，数列{b_n}满足b_n=4log₂a_n．
（Ⅰ）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求正整数m的值，使得

bm•bm+1

bm+2

是数列{b_n}中的项．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设{a_n}的公比为q，由a₃=8，S₂=48求出q的值，进而求出首项，从而求出数列{a_n}和{b_n}的通项公式．
（Ⅱ）化简

bm•bm+1

bm+2

 为

4(6-m)(5-m)

(4-m)

，令t=4-m（t≤3，t∈Z），则

bm•bm+1

bm+2

化为 4(t+3+

2

t

)．如果

bm•bm+1

bm+2

是数列{b_n}中的项，设为第m₀项，则有4(t+3+

2

t

)=4(6-m0)，那么t+3+

2

t

为小于等于5的整数，由此求得正整数m的值．

解答：解：（Ⅰ）设{a_n}的公比为q，则有

a1•q2=8 a1+a1q=48

，解得 q=

1

2

，或q=-

1

3

（舍）．
则a1=

8

q2

=32，an=32•(

1

2

)n-1=26-n，…（4分）
  bn=4log2an=4log226-n=-4n+24．…（6分）
即数列{a_n}和{b_n}的通项公式为an=32•(

1

2

)n-1=26-n，b_n=-4n+24．
（Ⅱ）

bm•bm+1

bm+2

=

(24-4m)(20-4m)

(16-4m)

=

4(6-m)(5-m)

(4-m)

，令t=4-m（t≤3，t∈Z），
所以

bm•bm+1

bm+2

=

4(6-m)(5-m)

(4-m)

=

4(2+t)(1+t)

t

=4(t+3+

2

t

)，…（10分）
如果 

bm•bm+1

bm+2

是数列{b_n}中的项，设为第m₀项，则有4(t+3+

2

t

)=4(6-m0)，那么t+3+

2

t

为
小于等于5的整数，
所以t∈{-2，-1，1，2}．当t=1或t=2时，t+3+

2

t

=6，不合题意； 当t=-1或t=-2时，t+3+

2

t

=0，符合题意．
所以，当t=-1或t=-2时，即m=5或m=6时，

bm•bm+1

bm+2

是数列{b_n}中的项．…（14分）

点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，属于中档题．