Question

（2012•浙江模拟）焦点在x轴上的椭圆

x2

4a

+

y2

a2+1

=1的离心率的最大值为（　　）

• A．

  1

  2

• B．

  2

  2

• C．

  3

  2

• D．

  3

  3

Answer 1

分析：根据椭圆的焦点在x轴上，建立关于a的不等式并解之得：2-

3

＜a＜2+

3

．由椭圆离心率公式，得e²=1-（

a

4

+

1

4a

），利用基本不等式得a=1时，e²有最大值

1

2

，即得该椭圆的离心率e的最大值．

解答：解：∵椭圆

x2

4a

+

y2

a2+1

=1的焦点在x轴上
∴4a＞a²+1，解之得2-

3

＜a＜2+

3

椭圆的离心率e满足：e²=

4a-(a2+1)

4a

=1-（

a

4

+

1

4a

）
∵a∈（2-

3

，2+

3

）是正数
∴

a

4

+

1

4a

≥2

a 4 × 1 4a

=

1

2

∴e²≤1-

1

2

=

1

2

，当且仅当

a

4

=

1

4a

=

1

4

，即a=1时，e²有最大值

1

2

由此可得椭圆的离心率e的最大值为

1 2

=

2

2

故选：B

点评：本题给出的椭圆方程含有字母参数，求椭圆的离心率最大值，着重考查了椭圆的简单性质和用基本不等式求最值等知识，属于中档题．