题目内容

已知向量 $数学公式$ =（ $数学公式$ sinx，cosx）， $数学公式$ =（cosx，cosx）， $数学公式$ =（2 $数学公式$ ，1）．
（1）若 $数学公式$ ∥ $数学公式$ ，求sinx•cosx的值；
（2）若f（x）= $数学公式$ ，求函数f（x）在区间[0， $数学公式$ ]上的值域．

解：（1）∵向量 $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ sinx，cosx）， $\text{[math]}$ =（cosx，cosx）， $\text{[math]}$ =（2 $\text{[math]}$ ，1）．
∴由 $\text{[math]}$ ∥ $\text{[math]}$ ，可得 $\text{[math]}$ sinxcosx=2 $\text{[math]}$ cos²x，
两边都除以 $\text{[math]}$ cos²x，得tanx=2．
∴sinx•cosx= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．…（6分）
（2）由题意，得
f（x）= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ sinxcosx+cos²x= $\text{[math]}$ sin2x+ $\text{[math]}$ （1+cos2x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．
∵0≤x≤ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ≤2x+ $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ≤sin（2x+ $\text{[math]}$ ）≤1．
可得1≤f（x）≤ $\text{[math]}$ ，故函数f（x）的值域为[1， $\text{[math]}$ ]．…（12分）
分析：（1）根据向量平行的坐标表示式，建立关于x的等式，化简整理可得tanx=2．由此结合三角函数“弦化切”，即可算出sinx•cosx的值；
（2）由向量数量积的坐标运算公式，结合三角恒等变换化简整理，可得f（x）=sin（2x+ $\text{[math]}$ ）+ $\text{[math]}$ ．结合x∈[0， $\text{[math]}$ ]和正弦函数的图象，即可得到函数f（x）在区间[0， $\text{[math]}$ ]上的值域．
点评：本题给出向量含有三角函数的坐标形式，讨论了向量平行并求三角函数的值域，着重考查了向量数量积的坐标公式、三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．