Question

已知为椭圆：的左、右焦点，过椭圆右焦点F₂斜率为（）的直线与椭圆相交于两点，的周长为8，且椭圆C与圆相切。
（1）求椭圆的方程；
（2）设为椭圆的右顶点，直线分别交直线于点，线段的中点为，记直线的斜率为，求证为定值．

Answer 1

（1） （2）= 证明详见解析．

试题分析：（1）由的周长为8，可得4a=8，又由椭圆C与圆相切，可得b²=3，即可求得椭圆的方程为．
（2）设过点 的直线方程为：，设点，点，将直线方程代入椭圆中，整理可得关于x的一元二次方程，该方程由两个不等的实数根，其判别式恒大于零，求出，的表达式，由点斜式分别写出直线AE，AF的方程，然后求出点M，N的坐标，在求出点P的坐标，由两点的斜率公式求出直线 的斜率，整理即可求得=．
（1）由题意得       3分
所求椭圆C的方程为．        4分
（2）设过点 的直线方程为：，
设点，点                                                 5分
将直线方程代入椭圆
整理得：                                   6分
因为点在椭圆内，所以直线和椭圆都相交，恒成立，
且                                       7分
直线的方程为：，直线的方程为：
令，得点，，
所以点的坐标                                          9分
直线 的斜率为
                   11分
将代入上式得：

所以为定值