Question

求过点P（3，0）且与圆x²+6x+y²-91=0相内切的动圆圆心的轨迹方程．

Answer 1

分析：根据两圆内切的性质，算出动圆圆心到P（3，0）、Q（-3，0）的距离之和等于常数10，由此可得轨迹为以P、Q为焦点的椭圆，利用椭圆的基本概念加以计算即可得到所求轨迹方程．

解答：解：将圆x²+6x+y²-91=0化成标准方程，
得（x+3）²+y²=100，圆心为Q（-3，0），半径为r=10
设动圆的圆心为C，与定圆切于点A
∵圆C过点P（3，0），圆C与圆Q相内切
∴|CQ|=|QA|-|CA|，
得|CQ|+|CA|=|CQ|+|CA|=|QA|=10（定值）
因此，动点C的轨迹为以P、Q为焦点的椭圆
2a=10，c=3，可得b=

a2-c2

=4
∴椭圆的方程为

x2

25

+

y2

16

=1，即为动圆圆心的轨迹方程．

点评：本题给出动圆满足的条件，求圆心的轨迹方程．着重考查了圆与圆的位置关系、椭圆的定义与标准方程和动点轨迹方程的求法等知识，属于中档题．