Question

在边长为1的正方形ABCD中，E为AB的中点，P为以A为圆心，AB为半径的圆在正方形内的圆弧上的任意一点，设向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

．
（Ⅰ）求点（μ，λ）的轨迹方程（不需限制变量取值范围）；
（Ⅱ）求λ+μ的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）首先以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，求出相应点的坐标，设出P点坐标，利用向量相等得坐标的关系，消掉参数θ后得点（μ，λ）的轨迹方程；
（Ⅱ）把λ，μ用含有θ的表达式表示，然后由题意得到θ的范围，最终确定当cosθ取得最大值1时，同时sinθ取得最小值0，这时λ+μ取最小值．

解答：解：（Ⅰ）如图，
以A为原点，以AB所在的为x轴，建立坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
设E（

1

2

，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）．
设P（cosθ，sinθ），∴

AC

=（1，1）．
由向量

AC

=λ

DE

+μ

AP

=λ（

1

2

，-1）+μ（cosθ，sinθ）
=（

λ

2

+μcosθ，-λ+μsinθ）=（1，1），
∴

λ

2

+μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，
即μcosθ=1-

λ

2

  ①，
μsinθ=1+λ  ②．
①²+②²得：5λ²+4λ-4μ²+8=0；
（Ⅱ）由

λ

2

+μcosθ=1，-λ+μsinθ=1，
∴

λ= 2sinθ-2cosθ sinθ+2cosθ μ= 3 sinθ+2cosθ

，
∴λ+μ=

2sinθ-2cosθ+3

sinθ+2cosθ

，
由题意可知：0≤θ≤

π

2

，∴0≤sinθ≤1，0≤cosθ≤1，
∴当cosθ取得最大值1时，同时sinθ取得最小值0，这时λ+μ取最小值为

0-2+3

0+2

=

1

2

．
∴λ+μ的最小值为

1

2

．

点评：本题考查了轨迹方程，求解的方法是由向量坐标相等得到关于λ，μ及P点坐标中的量θ的关系式，考查了参数方程及利用三角函数求最值，属中高档题．