题目内容
某单位为普及奥运知识，根据问题的难易程度举办A，B两种形式的知识竞猜活动． A种竞猜活动规定：参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，答对5个或6个，可获其它奖品；B种竞猜活动规定：参赛者依次回答问题，答对一个就结束竞猜且最多可回答6个问题，答对一个问题者可获福娃一个．假定参赛者答对每个题的概率均为| 1 | 4 |
（I）求某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率；
（II）设某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，求Eη．
分析：（1）参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个，依题意答对一题的概率为
，则根据独立重复试验公式得到结果．
（2）根据题意得到变量的可能取值，根据变量对应的事件，解出概率，写出分布列和期望，在解期望时，这几项的和解题较困难，因此要构造新数列，利用错位相减得到结果．
| 1 |
| 4 |
（2）根据题意得到变量的可能取值，根据变量对应的事件，解出概率，写出分布列和期望，在解期望时，这几项的和解题较困难，因此要构造新数列，利用错位相减得到结果．
解答：解：（I）∵参赛者回答6个问题后，统计结果，答对4个，可获福娃一个
设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M，
依题意答对一题的概率为
，则根据独立重复试验公式得到
P（M）=
(
)4(1-
)2
=15×
=
=
．
（II）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数η=1，2，3，4，5，6，
则P(η=1)=
，
P(η=2)=
，
P(η=3)=
，
P(η=4)=
，
P(η=5)=
，
P(η=6)=
．
∴η的分布列是
∴Eη=1×
+2×
×
++5×(
)4×
+6×(
)5
设S=1+2×
+3×(
)2++5×(
)4，
则
S=
+2×(
)2+3×(
)3+4×(
)4+5×(
)5
∴
S=1+
+(
)2+(
)3+(
)4-5×(
)5=
-5×(
)5，
∴Eη=
-5×(
)5+6×(
)5=
=
．
即某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为
；
某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，Eη为
．
设事件“某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品”为事件M，
依题意答对一题的概率为
| 1 |
| 4 |
P（M）=
| C | 4 6 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
=15×
| 9 |
| 46 |
| 135 |
| 46 |
| 135 |
| 4096 |
（II）依题意，某人参加B种竞猜活动，结束时答题数η=1，2，3，4，5，6，
则P(η=1)=
| 1 |
| 4 |
P(η=2)=
| 3 |
| 42 |
P(η=3)=
| 9 |
| 43 |
P(η=4)=
| 27 |
| 44 |
P(η=5)=
| 81 |
| 45 |
P(η=6)=
| 243 |
| 45 |
∴η的分布列是
∴Eη=1×| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
设S=1+2×
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
则
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
∴
| 1 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
1-(
| ||
|
| 3 |
| 4 |
∴Eη=
1-(
| ||
|
| 3 |
| 4 |
| 3 |
| 4 |
| 46-36 |
| 45 |
| 3367 |
| 1024 |
即某人参加A种竞猜活动只获得一个福娃奖品的概率为
| 135 |
| 4096 |
某人参加B种竞猜活动，结束时答题数为η，Eη为
| 3367 |
| 1024 |
点评：本题是一个综合问题，考查离散型随机变量的分布列和期望并且结合数列求和的问题，这种类型是近几年高考题中经常出现的，考查离散型随机变量的分布列和期望，大型考试中理科考试必出的一道问题．
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