题目内容
f（x）是定义在R上的连续的偶函数，当x＜0时，（x2+1）f′（x）+2xf（x）＞0，且f（-2）=0，则不等式f（x）＞0的解集是（ ）
| A、（-2，0）∪（2，+∞） | B、（-∞，-2）∪（0，2） | C、（-2，2） | D、（-∞，-2）∪（2，+∞） |
分析：构造函数g（x）=（x2+1）f（x），然后根据函数的奇偶性，导数和函数单调性之间的关系即可得到结论．
解答：解：构造函数g（x）=（x2+1）f（x），
∵f（x）是定义在R上的连续的偶函数，
∴g（x）=（x2+1）f（x）为偶函数．
当x＜0时，g'（x）=（x2+1）f′（x）+2xf（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．
当x＞0时，函数g（x）单调递减．
∵f（-2）=0，
∴f（-2）=f（2）=0，
即g（-2）=g（2）=0．
∴当-2＜x＜2时，g（x）＞0，
∵x2+1＞0，
∴不等式f（x）＞0的解为-2＜x＜2，
即不等式的解集为（-2，2）．
故选：C．
∵f（x）是定义在R上的连续的偶函数，
∴g（x）=（x2+1）f（x）为偶函数．
当x＜0时，g'（x）=（x2+1）f′（x）+2xf（x）＞0，此时函数g（x）单调递增．
当x＞0时，函数g（x）单调递减．
∵f（-2）=0，
∴f（-2）=f（2）=0，
即g（-2）=g（2）=0．
∴当-2＜x＜2时，g（x）＞0，
∵x2+1＞0，
∴不等式f（x）＞0的解为-2＜x＜2，
即不等式的解集为（-2，2）．
故选：C．
点评：本题主要考查不等式的解法，根据条件构造函数g（x）=（x2+1）f（x）是解决本题的关键，要求熟练掌握函数的单调性和导数之间的关系．
练习册系列答案
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设f（x）是定义在R上的函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）=-3f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）=2x-x2．则f（0）+f（-1）+f（-1）+…+f（-2014）=（ ）
A、-
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B、-
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C、-
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D、-
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