Question

已知a，b，c均为正数，证明：a2+b2+c2+(

1

a

+

1

b

+

1

c

)2≥6

3

，并确定a，b，c为何值时，等号成立．

Answer 1

分析：证法一：两次利用基本不等式放小，此处不用考虑等号成立的条件，因等号不成立不影响不等号的传递性．
证法二：先用基本不等式推出a²+b²+c²≥ab+bc+ac与

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

≥

1

ab

+

1

bc

+

1

ac

两者之和用基本不等式放小，整体上只用了一次放缩法．其本质与证法一同．

解答：证明：
（证法一）
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

a2+b2+c2≥3(abc) 2 3 1 a + 1 b + 1 c ≥3(abc)- 1 3

①
所以(

1

a

+

1

b

+

1

c

)2≥9(abc)-

2

3

②（6分）
故a2+b2+c2+(

1

a

+

1

b

+

1

c

)2≥3(abc)

2

3

+9(abc)-

2

3

．
又3(abc)

2

3

+9(abc)-

2

3

≥2

27

=6

3

③
所以原不等式成立．（8分）
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当3(abc)

2

3

=9(abc)-

2

3

时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=3

1

4

时，原式等号成立．（10分）
（证法二）
因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

a2+b2≥2ab b2+c2≥2bc c2+a2≥2ac

所以a²+b²+c²≥ab+bc+ac①
同理

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

≥

1

ab

+

1

bc

+

1

ac

②（6分）
故a2+b2+c2+(

1

a

+

1

b

+

1

c

)2③
≥ab+bc+ac+3

1

ab

+3

1

bc

+3

1

ac

≥6

3

所以原不等式成立．（8分）
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）²=（bc）²=（ac）²=3时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=3

1

4

时，原式等号成立．（10分）

点评：考查放缩法在证明不等式中的应用，本题在用缩法时多次用到基本不等式，请读者体会本题证明过程中不考虑等号是否成立的原理，并与利用基本不等式求最值再据最值成立的条件求参数题型比较．深入分析等号成立的条件什么时候必须考虑，什么时候可以不考虑．