Question

（2013•广元一模）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（　　）

• A．y=

  1

  x

• B．y=x+

  1

  x

• C．y=tanx
• D．y=lg

  1-x

  1+x

Answer 1

分析：选项中的几个函数分别是反比例函数，对数型函数，以及三角函数，根据相关函数的性质对每个函数的进行验证即可找出正确选项．

解答：解：对于选项A，y=

1

x

是一个反比例函数，其在定义域内是奇函数，但在整个定义域内不是单调函数，故A不对；
对于选项B，y=x+

1

x

判断其是奇函数，但在其定义域内有增有减，故B不正确；
对于选项C，函数y=tanx的图象为一段一段的曲线，在整个定义域上不是单调函数，故C不正确．
对于选项D，y=lg

1-x

1+x

的定义域为-1＜x＜1，且为奇函数，
令 u=

1-x

1+x

，则 u′=-

2

(1+x)2

＜0，所以 y=lg

1-x

1+x

在定义域上为减函数．故D正确；
由上分析知，选项D是正确的．
故选D．

点评：本题考点是函数单调性的判断与证明，考查基本函数单调性的判断与其奇偶性的判断，函数奇偶性与单调性是函数的两个非常重要的性质，奇函数的图象关于原点成中心对称图象，偶函数的图象关于y轴成中心对称图形，具有奇偶性的函数在对称的区间上奇函数的单调性相同，而偶函数在对称区间上相反，熟练掌握这些知识，可以迅速准确地做出正确判断．