Question

已知函数f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

，x∈R（其中ω＞0），若对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点．
（1）试确定ω的值（不必证明），并求函数f（x）在（0，

4π

7

）的值域；
（2）求函数f（x）在（0，4）上的单调增区间．

Answer 1

分析：（1）利用两角和与差的三角函数及倍角公式化简整理，然后由题意得到函数的周期，由周期公式求ω的值，则函数f（x）的解析式可求，然后利用x的范围求函数的值域；
（2）首先由复合函数的单调性求出函数f（x）的单调增区间，与（0，4）取交集得答案．

解答：解：（1）由f（x）=sin（ωx+

π

6

）+sin（ωx-

π

6

）-2cos²

ωx

2

，
得f（x）=sinωxcos

π

6

+cosωxsin

π

6

+sinωxcos

π

6

-cosωxsin

π

6

-（1+cosωx）
=2sinωxcos

π

6

-1-cosωx
=

3

sinωx-cosωx-1．
整理得：f(x)=2sin(ωx-

π

6

)-1．
∵对任意的a∈R，函数y=f（x），x∈（a，a+π]的图象与直线y=-1有且仅有两个不同的交点
∴T=π，则ω=

2π

T

=

2π

π

=2．
∴f(x)=2sin(2x-

π

6

)-1．
当x∈（0，

4π

7

）时，2x-

π

4

∈(-

π

6

，

41π

42

)，
∴f（x）在（0，

4π

7

）的值域为（-2，1]；
（2）由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，
得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z．
当k=0时，-

π

6

≤x≤

π

3

；
当k=1时，

5π

6

≤x≤

4π

3

．
∴函数f（x）在（0，4）上的单调增区间为(0，

π

3

)，(

5π

6

，4)．

点评：本题考查了两角和与差的三角函数、考查了二倍角公式，考查了三角函数的性质，体现了数学转化思想方法，解答的关键是由题意得到函数的周期，训练了复合函数单调性的求法，是中档题．